A,B为半径为5的圆O上两点，AB=8，P是圆上的一动点，求AP+BP的最大值？

定理1：圆周上夹同弧的圆周角相等。

正弦定理2：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

记：AB=p，AP=b，BP=a

∠APB=∠P，∠ABP=∠B，∠BAP=∠A

p/sinP=a/sinA=b/sinB=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b)/[2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)]

由定理1，P是常值

∴ A/2+B/2是常值。

∴ 当A/2-B/2时，a+b取得最大值。

∴ AP+BP最大时，A=B。

设M是AB中点，则O介于MP之间。

∵ AB=8 ∴ AM=AB/2=4

∵ OP=OA=5

∴ OM=√(OA²-AM²)=3

∴ MP=OM+OP=8

∴ AP=√(AM²+MP²)=4√5

∴ AP+BP=2A=8√5